高等数学1

写在之前

鉴于本人微积分遗忘过多，这个就当作是微积分的重新复习，以及一些以前微积分学习过程中并没有注意到的基础知识，日积月累望有所突破。文本是基于重读参考文献[1]后的写作，其中有大量借鉴，总归来讲算是个人学习笔记，但基于本人个人情况做了一些调整，做到尽量将某一个简单的问题叙述明白，讲清楚。

三角函数基础

弧度及角度问题

弧度和角度都是用于描述一个角的大小的度量单位，类似于描述长度的单位有英寸厘米，二者从量纲角度来讲等价。

三角函数名称由来

complementary 意为“互余”，故我们统共有6个三角函数，共四组：sin-cos，tan-cot，sec-csc。每一对函数之间有这样的关系

$$f(x)=co\quad f(\frac{\pi}{2}-x)$$

中文名中以“余”开头则是一组中的co函数（注：以上公式对co函数同样适用）
tan函数在$\frac{(2k+1)\pi}{2}\quad k\in Z$时无定义。上述中有两个三角函数sec csc较为陌生，$sec=\frac{1}{cos}$ $csc=\frac{1}{sin}$，与$sin-cos$这一对类似，$sec-csc$这一对形状相同，但一奇一偶，其中sec（中文名为正割）为偶函数，csc（中文名为余割）为奇函数，二者函数图像如下（图源来自Wikimedia）


如图，二者分别在$\frac{(2k+1)\pi}{2}\quad k\in Z$以及$k\pi\quad k\in Z$上无定义。
在这里引述一张非常有趣的图片来解释六个三角函数间的关系：

在这个六边形中，对角线两个函数的乘积为1（互为倒数），对于每一个阴影三角形，三角形的上端两角的值的平方和等于三角形下端角的平方，而每一个函数都等于其顺时针两函数之比，同样的任意一点的函数都等于这个函数所在左右端点的乘积。

三角函数导数与相关极限

几个重要极限

我们有一个基本的极限（或者说无穷小也可以），那就是

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

接下来我们来证明它，首先在单位圆上做相关的面积图有

设我们所研究的角度的弧度为x,其大于零但小于$\frac{\pi}{2}$，我们需要三个面积：以单位1为底，$\sin x$为高的三角形面积为：$\frac{\sin x}{2}$，弧度为x半径长度为1的扇形面积为：$\pi\times\frac{x}{2\pi}=\frac{x}{2}$，还有以$\tan x$为高，1为底的三角形面积为：$\frac{\tan x}{2}$。同时我们从图中可以清楚的得到以上三者的面积大小关系，将其代数化则有：

$$\frac{\sin x}{2}< \frac{x}{2}<\frac{\tan x}{2}$$

化简一下有：

$$\frac{1}{\sin x} >\frac{1}{x}>\cot x$$

每一项都乘以$\sin x$则有

$$1>\frac{\sin x}{x}>\cos x$$

而根据夹逼定理有当x从正向趋近于零时，目标函数有

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$$

同时由于函数$\frac{\sin x}{x}$为偶函数，所以其从正向或是负向逼近零的时候结果相同,证明完毕。
我们由它再推出几个重要极限：

$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\times \frac{1}{\cos x}=1$$ $$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2(x)}{x}\times\frac{1}{1+\cos x}=0$$

拥有了以上几个重要极限之后，我们就可以对三角函数的导数进行推导了。
首先就是sin的导数推导，由导数定义式有：

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\cos(h)+\sin(h)\cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\{sin(x)\frac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)\frac{\sin(h)}{h}\}=\cos(x)$$

同理运用以上的极限我们可以求得函数cos的导数：

$$\frac{d\cos x}{d x}=-\sin x$$

以以上我们求得的这一组函数的导数为基础，我们可以运用链式规则，运用求导商法则，求出剩余四个三角函数的导数，在此不再一一证明，将其列举如下：

$$\frac{d\tan x}{d x}=\sec^2(x),\frac{d\cot x}{d x}=-\csc^2(x)$$ $$\frac{d\sec x}{d x}=\sec(x)\tan(x),\frac{d\csc x}{d x}=-\csc(x)\cot(x)$$

写出来后我们会发现一些规律，co函数最终的求导结果都带有负号，且与同一组函数的导数呈现互余。

反三角函数的导数及推导

我们直接给出反三角函数的导数及其中一部分的推导。我们令$y=arctan x$，现要求$\frac{dy}{dx}$

$$tan y = x$$ $$\frac{d(tan y)}{dx}=1$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{sec^2 y}$$

又因为$sec^2 y= 1 + x^2$综上有

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

$arctan$的值域是$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$而其定义域是$R$，为奇函数。同理我们推导$y = arcsec x$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{sec(y)tan(y)}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

$arcsec$的函数图像较为特殊，既不为奇函数也不为偶函数，我们在确定该函数定义域的时候应该从$sec$$[0,\pi]$的区间内提取出来，故其定义域为$(-\infty, -1]\cup[1,\infty)$
最后我们总结所有的反三角函数的导数值：

$$\frac{d}{dx}arccos (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x\in(-1,1)$$ $$\frac{d}{dx}arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x\in(-1,1)$$ $$\frac{d}{dx}arctan (x)=\frac{1}{1+x^2}\quad x\in(-\infty,+\infty)$$ $$\frac{d}{dx}arccot (x)=-\frac{1}{1+x^2}\quad x\in(-\infty,+\infty)$$ $$\frac{d}{dx}arcsec (x)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\quad x\in(-\infty, -1]\cup[1,\infty)$$ $$\frac{d}{dx}arcsec (x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\quad x\in(-\infty, -1]\cup[1,\infty)$$

每一组之间的三角函数反三角函数的导数互为相反数。

连续性与可导性的备忘录

在第一次接触连续性与可导性时理解完全不深刻，所谓的一些可导必连续，连续不一定可导还是借助同学间流传的自行车的笑话记住的，本次对其进行简单但相对细致的探究，以求理解。

从导数的角度出发

在定义某一点的导数的时候我们有

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

从几何上讲（我们单纯的把它限制在一次函数内），这就是在曲线上先取一定点A$(x,f(x))$，然后在同一曲线上取除了该定点的另一点B$(x+h,f(x+h))$，用直线将这两点连接起来当h趋于零时，该直线的斜率就是导数，即就是该点切线的斜率。

再来思考连续

连续的定义为：$x \in I$（I为函数定义域）当$c-\delta < x < c+\delta$时有任意的正实数$\varepsilon$满足$f(c)-\varepsilon< f(x) < f(x)+\varepsilon$则该函数在c处连续。简单的讲，就是在左右逼近极限后，它所得到的是一个统一的值。现在给出一个例子，观察函数$y=|x|$，你会发现这个函数在定义域上是完全连续的，那么它同样在定义域内可导吗？
我们很容易的的发现，在$x=0$处，该函数图像是一个尖点，考虑之前我们对函数导数下的几何方面的定义，你会发现，函数在该点上没有唯一的切线，故其不可导。综上，连续是不一定可导的，我们接下来证明可导一定连续。
借由刚才得到的求导的定义式我们有：

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times h=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times \lim_{h\to 0}h=0$$

则

$$\lim_{h\to 0}f(x+h)-f(x)=0$$

即

$$\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)$$

综合之前连续性定义，有可导一定连续。

参考资料

[1]《普林斯顿微积分读本》 Adrian Banner著 杨爽等译
[2]Wikimedia官网https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page
[3]tikz模板官网https://texample.net/media/tikz/examples/PDF/trigonometric-hexagon.pdf